[Lie Group 입문] 1편: 대체 Lie Group(리 그룹)이 뭘까?

안녕하세요! 이 블로그 시리즈에서는 “Lie Group(리 군)”이라는 조금 낯선 수학 개념을, 수학에 익숙하지 않은 분들도 이해할 수 있도록 천천히 풀어가려 합니다. 수학이라고 하면 머리가 지끈해질 수 있지만, 걱정 마세요. 우리가 “Lie Group”을 배우는 이유와, 이 개념이 실제 로보틱스나 컴퓨터 비전 분야에서 얼마나 유용하게 쓰이는지 친절하게 이야기해드릴게요.

수학? 대체 왜 하필 “Lie Group”일까?

우리는 일상에서 생각보다 많은 곳에서 “대칭성”이나 “변환”을 마주합니다. 예를 들어:

• 로봇 팔이 어떤 물체를 잡으려면, 팔 끝이 공간 상에서 어떻게 회전하고 이동해야 하는지 알아야 합니다.
• 드론이나 로봇 청소기가 스스로 길을 찾으려면, 주변 환경과 자기 위치를 이해하고, 조금씩 자세를 바꿔가며 움직여야 합니다.
• 컴퓨터 비전에서는, 카메라로 찍은 영상 안에서 물체를 찾거나 다른 각도에서 찍힌 이미지를 비교하려면 시점 변화(회전, 평행이동)를 수학적으로 다루는 방법이 필요합니다.

이런 문제에서 단순히 “이 정도만 회전해볼까?” “이쯤 이동해볼까?” 하는 식의 직관적 접근보다는, 기하학적이고 체계적인 수학 언어를 사용하면 훨씬 더 정확하고 효율적으로 문제를 해결할 수 있습니다. 그때 강력한 도구로 등장하는 것이 바로 Lie Group이라는 개념입니다.

Lie Group이란?

한 마디로 요약하면, Lie Group은 ‘연속적으로 변화하는 대칭을 담는 수학적 구조’입니다.

‘대칭’하면 거울에 비친 모습이나 도형을 돌렸을 때 원래 모습과 같은 상황을 생각할 수 있죠. 이때 Lie Group은 단지 몇 개의 대칭만 모아놓은 것이 아니라, 그 대칭 변환들이 연속적으로(끊김 없이) 변할 수 있는 구조를 갖춘 집합입니다. 즉, 단순한 회전이나 이동 변환들이 매끄럽게 연결되어 있는 거대한 “변환의 공간”으로 볼 수 있습니다.

예를 들면, 2차원 평면에서 한 점을 중심으로 돌리는 모든 회전(0도, 1도, 2도, ... , 360도까지 부드럽게 변화)을 한데 모으고 이를 수학적으로 다룬다면, 그 집합은 Lie Group의 예가 됩니다.

로보틱스와 컴퓨터 비전으로 살짝 맛보기

• 로보틱스: 로봇 팔 끝 단의 위치나 자세를 표현할 때, 3차원에서의 회전(SO(3))과 이동을 함께 다루는 변환군(SE(3))을 활용합니다. 이를 통해 복잡한 경로 계획이나 자세 제어를 수학적으로 명확히 처리할 수 있습니다.
• 컴퓨터 비전: 카메라로 찍은 이미지들 간의 관계를 파악하거나, 3D 물체를 인식하기 위해서는 좌표계 변환이 핵심입니다. 이때 회전군, 유클리드 변환군 등을 Lie Group 관점에서 다루면, 복잡한 영상 정합(Image Registration)이나 SLAM 문제도 보다 체계적으로 접근할 수 있습니다.

앞으로 이 시리즈에서 다룰 내용

이번 시리즈는 다음과 같은 흐름으로 전개됩니다.

1. 기초부터 시작: 군(Group)이라는 추상적 구조로부터 출발해 대칭과 불변성의 개념을 다룹니다.
2. 매니폴드(Manifold) 이해: 곡면이나 곡선을 통해 연속적이며 미분가능한 공간의 개념을 잡고, 이를 Lie Group과 연결합니다.
3. Lie Group 정의와 예시: SO(2), SO(3), SE(3) 등을 예로 들어 회전·이동 변환을 어떻게 수학적으로 표현하는지 배웁니다.
4. Lie Algebra(리 대수): Lie Group에 내재된 미세한 구조를 파악하는 도구로서 Lie Algebra를 알아봅니다.
5. 응용 사례: 로보틱스의 경로계획, 컴퓨터 비전의 포즈 추정 등 실제 활용 예를 통해 수학 이론이 실질적 문제 해결에 어떤 도움을 주는지 살펴봅니다.

함께 보면 좋은 자료

• 그룹 이론 기초: 3Blue1Brown의 Group theory 소개 영상 (영어)
• Lie Group과 로보틱스: Kevin M. Lynch, Frank C. Park의 Modern Robotics 온라인 자료 및 유튜브 강의
• 추가 참고서적: “Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations”(Claudio Procesi)나 “Lie Groups, Lie Algebras, and Representations”(Brian C. Hall) 등은 좀 더 심화된 내용을 다룹니다.

Group Theory 설명 영상

SO(3) 설명 영상